Condição sônica em escoamento de Fanno

Escoamentos compressíveis Condição sônica em escoamento de Fanno Condição sônica em escoamento de Fanno

O escoamento de Fanno é um escoamento unidimensional, em regime permanente, adiabático com atrito. A condição sônica é a condição em que Mach=1. Ela permite que as propriedades sejam determinadas em função do Mach na entrada do escoamento.

Neste vídeo vamos desenvolver as fórmulas para a condição sônica como referência, à partir das equações desenvolvidas no tópico anterior.

No próximo vídeo iremos resolver um exercício utilizando as fórmulas com a condição sônica e posteriormente utilizando a tabela.

Duração do vídeo: 8min49s

Um escoamento de Fanno em regime subsônico é acelerado e em regime supersônico é desacelerado. Dessa forma, podemos levar o escoamento para Mach=1, independente do regime. O comprimento necessário do duto será denominado comprimento sônico e representado como $L^*$ . As propriedades nessa condição serão chamadas de propriedades sônicas e representadas por $^*$ .

A condição sônica é, portanto, a condição que existirá se houver um comprimento suficiente para levar o escoamento na estrada para Mach=1. Ela é, fundamentalmente, diferente da condição crítica que consideramos em choque, em que a condição de Mach=1 é atingida isoentropicamente.

As propriedades na condição sônica são constantes e podem ser utilizadas como referência, dependendo apenas do Mach local do escoamento e do fluído. Dessa forma, é possível tabelar a razão entre as propriedades na estrada e as propriedades sônicas.

Seja $M_2=1$ . Assim, $T_2=T^*$ , $P_2=P^*$ , $\rho_2=\rho^*$ e $P_{02}=P^*$ . Podemos obter as equações para as propriedades sônicas:

$\begin{equation*}\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{2 + (k-1)M_1^2}{2 + (k-1)M_2^2}\right)\end{equation*}$

$\begin{equation*}\frac{T^*}{T} = \left(\frac{2 + (k-1)M^2}{2 + (k-1)}\right)\end{equation*}$

(1) $\begin{equation*}\boxed{\frac{T^*}{T} = \left(\frac{2 + (k-1)M^2}{k+1}\right)}\end{equation*}$

$\begin{equation*}\begin{aligned}\frac{P_2}{P_1} = \frac{M_1}{M_2}\left(\frac{2 + (k-1)M_1^2}{2 + (k-1)M_2^2}\right)^{1/2} \\\frac{P^*}{P} = \frac{M}{1}\left(\frac{2 + (k-1)M^2}{2 + (k-1)}\right)^{1/2} \\\end{aligned}%\label{eq Fanno P2/P1}\end{equation*}$

(2) $\begin{equation*}\boxed{\frac{P^*}{P} = M\left(\frac{2 + (k-1)M^2}{k+1}\right)^{1/2}}\end{equation*}$

$\begin{equation*}\begin{aligned}\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{M_1}{M_2}\left(\frac{2 + (k-1)M_2^2}{2 + (k-1)M_1^2}\right)^{1/2} \\\frac{\rho^*}{\rho} = \frac{M}{1}\left(\frac{2 + (k-1)1^2}{2 + (k-1)M^2}\right)^{1/2}\end{aligned}\end{equation*}$