FT2.T. Choque Normal: introdução

Escoamentos compressíveis Choque normal FT2.T. Choque Normal: introdução

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Tempo estimado de leitura: 11 minutos

Tabela de conteúdos

Formas alternativas da equação da energia
A relação de Prandtl
Propriedades após o choque em função do número de Mach

O que você deve saber:

Definição de choque normal
Equações das propriedades após o choque em função do número de Mach antes do choque.
Gráficos e tabelas para choque normal

Ondas de choque são descontinuidades no escoamento. As propriedades do fluido serão diferentes antes e depois do choque, mas não levaremos em conta como as propriedades mudam através da onda de choque.
Para a conservação de massa e energia e a 2ª Lei de Newton, vamos assumir que o fluido em cada lado da onda de choque é um contínuo e as propriedades mudam instantâneamento quando passam pelo choque. Essa hipótese é uma aproximação que fornece bons resultados para diversas aplicações práticas.

O gás é considerado como uma combinação de átomos e moléculas, que consideraremos como partículas. Se a temperatura é maior do que o zero absoluto, essas partículas se movimentam à velocidade finita. A velocidade e direção de cada partícula é diferente e a velocidade média depende da temperatura. Após a colisão entre as moléculas elas trocam velocidade e direção. A distância média que uma molécula viaja anter de colidir com outra é definida como caminho livre médio (mfp do inglês mean free path). Se a colisão ocorre à velocidades suficientemente altas, a colisão pode gerar vibração e rotação das moléculas ou elas podem se dissociar nos seus átomos constituintes. À energias mais altas o gás pode ionizar.

Para a análise inicial, vamos ignorar os efeitos a “altas” temperaturas. Iremos modelar o gás como ideal e perfeito caloricamente. Para as partículas no gás colidindo, a espessura da onda de choque depende da frequência das colisões, sendo tipicamente da ordem de poucos comprimentos de caminho livre molecular. No ar à pressão e temperatura ambientes o $m \approx 10^{7}[m]$ , portanto a onda de choque no ar terá espessura dessa ordem, e é uma boa aproximação considerá-la como uma mudança instantânea nas propriedades do gás.

Para o ar a altas altitudes, próximo da borda da atmosfera, a massa específica é muito baixa, o que resulta em um caminho livre médio molecular grande, consequentemente as ondas de choque não podem, nessas condições, serem tratadas como muito finas. Esse é um outro campo de estudo: dinâmica de gases rarefeitos. Essa situação pode ser encontrada em escoamentos hipersônicos e no instante inicial da reentrada na atmosfera de aeronaves espaciais. Conforme a altitude diminui, a massa específica aumenta e o modelo de onda de choque muito fina passa a ser válido.

Formas alternativas da equação da energia

Consideremos o escoamento entre o ponto 1 e 2 sem adição de calor ou trabalho. Do balanço de energia (1ª Lei), sabendo que para gás ideal entalpia depende da temperatura $h=c_P.T$ e a velocidade do som sendo $c^2 = k.R.T$ :

$\begin{equation*}h_1 + \frac{V_1^2}{2} = h_2 + \frac{V_2^2}{2} = h_o\end{equation*}$

(1) $\begin{equation*} c_P.T_1 + \frac{V_1^2}{2} = c_P.T_2 + \frac{V_2^2}{2}\end{equation*}$

Para gás ideal $R=c_P-c_v$ , assim:

$\begin{equation*}\begin{aligned}\frac{R}{c_P} &= \frac{c_P}{c_P} - \frac{c_v}{c_P} \\\frac{R}{c_P} &= 1 - \frac{1}{k} \\\frac{R}{c_P} &= \frac{k-1}{k} \\c_P &= \frac{k.R}{k-1}\end{aligned}\end{equation*}$

Substituindo na Eq.(1)

$\begin{equation*}\begin{aligned}c_P.T_1 + \frac{V_1^2}{2} &= c_P.T_2 + \frac{V_2^2}{2} \\\frac{k.R}{k-1}.T_1 + \frac{V_1^2}{2} &= \frac{k.R}{k-1}.T_2 + \frac{V_2^2}{2} \\\end{aligned}\end{equation*}$

A velocidade do som no gás é $c^2 = k.R.T$ , logo:

(2) $\begin{equation*}\frac{c_1^2}{k-1} + \frac{V_1^2}{2} = \frac{c_2^2}{k-1} + \frac{V_2^2}{2}\end{equation*}$

Consideremos as propriedades para condição característica no ponto. Sabemos que se o escoamento e levado para Mach=1 adiabaticamente $T = T^*$ . Para essa condição, podemos calcular a velocidade do som característica $c^*=\sqrt{k.R.T^*}$ . Assim:

$\begin{equation*}\begin{aligned}\frac{c^2}{k-1} + \frac{V^2}{2} &=\frac{(c^*)^2}{k-1} + \frac{(c^*)^2}{2} \\&=\frac{2(c^*)^2 + (k-1).(c^*)^2}{2(k-1)} \\&=\frac{2(c^*)^2 + k.(c^*)^2 + (c^*)^2}{2(k-1)} \\\end{aligned}\end{equation*}$

(3) $\begin{equation*}\frac{c^2}{k-1} + \frac{V^2}{2}=\frac{(c^*)^2(k+1)}{2(k-1)}\end{equation*}$

Da Eq.(3), observamos que, conhecida a velocidade e temperatura num ponto do escoamento, podemos calcular a velocidade do som nesse ponto e também a velocidade do som característica associada a esse ponto. Dividindo a equação por $V^2$ :

$\begin{equation*}\begin{aligned}\frac{\frac{c^2}{k-1}}{V^2} + \frac{V^2}{2.V^2}&= \frac{\frac{(c^*)^2(k+1)}{2(k-1)}}{V^2} \\\frac{c^2}{V^2}\frac{1}{k-1} + \frac{1}{2} &= \frac{(C^*)^2}{V^2}\frac{k+1}{2(k-1)} \\\frac{1}{M^2(k-1)} + \frac{1}{2} &= \frac{1}{(M^*)^2} \frac{k+1}{2(k-1)} \\\frac{1}{M^2(k-1)}\frac{2(k-1)}{k+1} + \frac{1}{2}\frac{2(k-1)}{k+1} &= \frac{1}{(M^*)^2} \\\frac{2}{M^2(k+1)} + \frac{k-1}{k+1} &= \frac{1}{(M^*)^2} \\(M^*)^2 &= \frac{1}{\frac{2}{M^2(k+1)} + \frac{k-1}{k+1}} \\\end{aligned}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}\boxed{(M^*)^2 = \frac{M^2(k+1)}{2 + M^2(k-1)}}\end{equation*}$

A Eq.(4) associa um valor de Mach característico com o valor de Mach num ponto do escoamento, e tem propriedades interessantes:

Para $M=1$ , $M^*=1$
Para $M>1$ , $M^* >1$
Para $M<1$ , $M^* <1$
Para $M \rightarrow \infty$ , $M^* \rightarrow \sqrt{\frac{k+1}{k-1}}$

O Mach característico tem o mesmo comportamento do Mach no ponto e tende a um valor finito quando Mach tende ao infinito.

A relação de Prandtl

Vamos considerar para o choque normal sem adição de calor nem trabalho as seguintes equações:

Continuidade: $\rho_1.V_1 = \rho_2.V_2$
Momento: $P_1 + \rho_1.V_1^2 = P_2+\rho_2.V_2^2$
Energia: $h_1 + \frac{V_1^2}{2} = h_2 + \frac{V_2^2}{2}$
Gás ideal: $P=\rho.R.T$
Perfeito caloricamente: $h=c_P.T$

Dividindo a equação do momento pela continuidade ( $\rho.V$ ):

(5) $\begin{equation*}\begin{aligned}\frac{P_1}{\rho_1.V_1} + \frac{\rho_1.V_1^2}{\rho_1.V_1} &=\frac{P_2}{\rho_2.V_2} + \frac{\rho_2.V_2^2}{\rho_2.V_2} \end{aligned}\end{equation*}$

Mas $c^2=k.R.T = k\frac{P}{\rho}$ . Logo $\frac{P}{\rho} = \frac{c^2}{k}$ . Assim:

$\begin{equation*}\frac{c_1^2}{k.V_1} + V_1 = \frac{c_2^2}{k.V_2} + V_2 \\\end{equation*}$

(6) $\begin{equation*}\frac{c_1^2}{k.V_1} - \frac{c_2^2}{k.V_2} = V_2-V_1\end{equation*}$

Da Eq.(3), podemos associar a velocidade e a velocidade do som no ponto com a velocidade do som característica. Substituindo:

(7) $\begin{equation*}\left[\frac{(k+1)(c_1^*)^2}{2.k.V_1} - \frac{k-1}{2}\frac{V_1^2}{k.V_1}\right] - \left[\frac{(k+1)(c_2^*)^2}{2.k.V_2} - \frac{k-1}{2}\frac{V_2^2}{k.V_2}\right] = V_2-V_1 \\\end{equation*}$

Para escoamento adiabático $c_1^* = c_2^*$ . Assim:

$\begin{equation*}\begin{aligned}\frac{k+1}{2}\frac{(c^*)^2}{k.V_1} - \frac{k-1}{2k}V_1 - \frac{k+1}{2}\frac{(c^*)^2}{k.V_2} + \frac{k-1}{2k}V_2 &= V_2-V_1 \\\frac{k+1}{2}\frac{(c^*)^2}{k}\left(\frac{1}{V_1} - \frac{1}{V_2}\right) + \frac{k-1}{2.k}(V_2-V_1) &=V_2-V_1 \\\frac{k+1}{2}\frac{(c^*)^2}{k}\left(\frac{V_2-V_1}{V_1.V_2}\right) + \frac{k-1}{2.k}(V_2-V_1) &=V_2-V_1 \\\frac{k+1}{2}\frac{(c^*)^2}{k}.\frac{1}{V_1.V_2} + \frac{k-1}{2k} &= 1 \\\frac{k+1}{2}\frac{(c^*)^2}{k}.\frac{1}{V_1.V_2} &= 1 - \frac{k-1}{2.k} \\&=\frac{2k-k+1}{2k}=\frac{k+1}{2k} \\\frac{k+1}{2}\frac{(c^*)^2}{k}.\frac{1}{V_1.V_2} &= \frac{k+1}{2k} \\\end{aligned}\end{equation*}$

(8) $\begin{equation*}\boxed{(c^*)^2 = V_1.V_2}\end{equation*}$

A Eq.(8) é a Relação de Prandtl. Podemos determinar a relação entre o mach característico antes e depois do choque:

$\begin{equation*}\begin{aligned}(c^*)^2 = c^*.c^* &= V_1.V_2 \\1 &= \frac{V_1}{c^*}.\frac{V_2}{c^*} \\1 = M_1^*.M_2^* \\\end{aligned}\end{equation*}$

(9) $\begin{equation*}\boxed{M_2^* = \frac{1}{M_1^*}}\end{equation*}$

A Eq.(9) nos mostra que para um Mach característico supersônico antes do choque, o mach característico deve ser subsônico após o choque. Já vimos que Mach característico supersônico resulta em Mach supersônico e Mach característico subsônico resulta em Mach subsônico. Dessa forma, para Mach supersônico antes do choque o Mach após o choque deve ser subsônico.

Propriedades após o choque em função do número de Mach

Número de Mach após o choque

Podemos obter o Mach após o choque em função do Mach antes do choque, sabendo que:

$\begin{equation*}M^* = \frac{M^2(k+1)}{2 + M^2(k-1)}\end{equation*}$

Substituindo na Eq.(9

$\begin{equation*}\frac{M_2^2(k+1)}{2 + M_2^2(k-1)} = \frac{2 + M_1^2(k-1)}{M_1^2(k+1)} \\\end{equation*}$

(10) $\begin{equation*}\boxed{M_2^2 = \frac{1 + [\frac{k-1}{2}]M_1^2}{k.M_1^2 - \frac{k-1}{2}}}\end{equation*}$

O Mach antes do choque é um parâmetro importante que dita as propriedades após o choque.

Choque normal. Mach após o choque em função do Mach antes do choque para o ar, com $k=1,4$

Razão entre massa específicas após e antes o choque normal

Outras propriedades envolvendo o número de Mach antes do choque podem ser determinadas. Da equação da continuidade e da relação de Prandtl:

$\begin{equation*}\begin{aligned}\rho_1.V_1 &= \rho_2.V_2 \rightarrow \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{V_1}{V_2}\\(c^*)^2 &= V_1.V_2 \\\frac{\rho_2}{\rho_1} &= \frac{V_1}{\frac{(c^*)^2}{V_1}} \\\frac{\rho_2}{\rho_1} &= \frac{V_1^2}{(c^*)^2} = (M_1^*)^2 \\\end{aligned}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\boxed{\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{V_1}{V_2} = \frac{M_1^2(k+1)}{2+M_1^2(k-1)}}\end{equation*}$

Choque normal. Razão entre massas específicas após e antes do choque em função do número de Mach antes do choque para o ar, com $k=1,4$

Razão entre as pressões após e antes do choque normal

Da equação do momento, da continuidade e Mach característico:

$\begin{equation*}\begin{aligned}P_1+\rho_1.V_1^2 &= P_2+\rho_2.V_2^2 \\P_2 - P_1 &= \rho_1.V_1^2 - \rho_2.V_2^2 \\P_2 - P_1 &= \rho_1.V_1.V_1 - \rho_2.V_2.V_2 \\\rho_1.V_1 &= \rho_2.V_2 \\P_2-P_1 &= \rho_1.V_1.V_1 - \rho_1.V_1.V_2 \\P_2-P_1 &= \rho_1.V_1(V_1-V_2) \\P_2 - P_1 &= \rho_1.V_1^2\left(1-\frac{V_2}{V_1}\right) \\\frac{P_2-P_1}{P_1} &= \frac{\rho_1}{P_1}.V_1^2\left(1-\frac{V_2}{V_1}\right) \\c^2 &= k.\frac{P}{\rho} \\\frac{P_2-P_1}{P_1} &= \frac{k}{c^2}.V_1^2\left(1-\frac{V_2}{V_1}\right) \\\frac{P_2-P_1}{P_1} &= k.M_1\left[1-\frac{2+(k-1)M_1^2}{(k+1)M_1^2}\right] \\\frac{P_2}{P_1} - \frac{P_1}{P_1} &=k.M_1\left[1-\frac{2+(k-1)M_1^2}{(k+1)M_1^2}\right] \\\frac{P_2}{P_1} &= 1+k.M_1\left[1-\frac{2+(k-1)M_1^2}{(k+1)M_1^2}\right] \\\end{aligned}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\boxed{ \frac{P_2}{P_1} = 1 + \frac{2k}{k+1}(M_1^2-1)}\end{equation*}$

Choque normal. Razão entre as pressões após e antes do choque em função do número de Mach antes do choque para o ar, com $k=1,4$

Razão entre as temperaturas após e antes do choque normal

Da equação dos gases ideais:

$\begin{equation*}\begin{aligned}P&=\rho.R.T \\\frac{T_2}{T_1} &= \frac{P_2}{\rho_2}.\frac{\rho_1}{P_1} \\\frac{T_2}{T_1} &=\frac{P_2}{P_1}.\frac{\rho_1}{\rho_2} \\\end{aligned}\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\boxed{\frac{T_2}{T_1} = \frac{h_2}{h_1} = \left[1+\frac{2k}{k+1}(M_1^2-1)\right]\left[\frac{2+(k-1)M_1^2}{(k+1)M_1^2}\right]}\end{equation*}$

Choque normal. Razão entre as temperaturas após e antes do choque em função do número de Mach antes do choque para o ar, com $k=1,4$

Entropia

Substituindo as equações para as razões entre as temperaturas e pressões na equação da variação de entropia para gases ideais:

$\begin{equation*} \begin{aligned}s_2-s_1 &= c_P\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R\ln\left(\frac{P_2}{P_1}\right) \\\frac{T_2}{T_1} &= \frac{h_2}{h_1} = \left[1+\frac{2k}{k+1}(M_1^2-1)\right]\left[\frac{2+(k-1)M_1^2}{(k+1)M_1^2}\right] \\\frac{P_2}{P_1} &= 1 + \frac{2k}{k+1}(M_1^2-1) \\\end{aligned}\end{equation*}$

Dessa forma, a variação da entropia também pode ser determinada em função de Mach antes do choque:

(14) $\begin{equation*}s_2-s_1 = F(M_1)\end{equation*}$

Todas as equações desenvolvidas para as propriedades após o choque valem, matematicamente, para qualquer valor de Mach antes do choque, subsônico ou supersônico. Assim:

Se $M_1=1$ , $s_2-s_1=0$
Se $M_1>1$ , $s_2-s_1 > 0$
Se $M_1<1$ , $s_2-s_1 < 0$

Por definição, a onda de choque é uma região muito fina com altos gradientes de temperatura, pressão, massa específica e velocidade. Altos gradientes de temperatura implicam que os efeitos da transferência de calor não podem ser desprezados. Da mesma forma, altos gradientes de velocidade implicam que os efeitos da viscosidade não podem ser desprezados. Assim, a região do choque normal é uma região em que os efeitos dissipativos não podem ser desprezados e, portanto, a entropia deve aumentar através do choque. Assim $s_2-s_1 \ge 0$ , e consequentemente $M_1 \ge 1$ . Dessa forma:

$M_1\ge 1$ e $M_2 \le 1$
$\frac{\rho_2}{\rho_1} \ge 1$
$\frac{P_2}{P_1} \ge 1$
$\frac{T_2}{T_1} \ge 1$

Variação das propriedades de estagnação através do choque normal

Consideremos um escoamento supersônico em 1 e subsônico em 2. Para ambos, podemos considerar a condição associada de estagnação, levando cada um dos pontos à velocidade nula isoentropicamente. Assim, $s_{o1} = s_1$ e $s_{o2} = s_2$ e, do balanço de energia:

(15) $\begin{equation*}c_P.T_1 + \frac{V_1^2}{2} = cp.T_{o1}\end{equation*}$

(16) $\begin{equation*}c_P.T_2 + \frac{V_2^2}{2} = cp.T_{o2}\end{equation*}$

Assim:

$\begin{equation*}\begin{aligned}c_P.T_1 + \frac{V_1^2}{2} &= c_P.T_2 + \frac{V_2^2}{2} \\c_P.T_{o1} &= c_P.T_{o2}\\\end{aligned}\end{equation*}$

(17) $\begin{equation*}\boxed{T_{o1} = T_{o2}}\end{equation*}$

A temperatura de estagnação não muda através do choque, assim como a entalpia de estagnação $h_{o1} = h_{o2}$ . Para a entropia:

$\begin{equation*}\begin{aligned}s_{o2} - s_{o1} &= c_P \ln \left( \frac{T_{o2}}{T_{o1}} \right) - R \ln\left(\frac{P_{o2}}{P_{o1}}\right) \\s_2 - s_1 &= - R\ln\left(\frac{P_{o2}}{P_{o1}}\right) \\ \end{aligned}\end{equation*}$

(18) $\begin{equation*}\frac{P_{o2}}{P_{o1}} = exp\left[-\frac{s_2-s_1}{R}\right]\end{equation*}$

Já sabemos que $s_2-s_1 \ge 0$ , assim $P_{o2} \le P_{01}$ .

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