FT2T. Condição sônica em Escoamento de Rayleigh

Escoamentos compressíveis Condição sônica em escoamento de Rayleigh FT2T. Condição sônica em Escoamento de Rayleigh

Nessa aula vamos primeiro definir a condição sônica e em seguida desenvolver as equações para o escoamento de Rayleigh em função da condição sônica. Finalmente, vamos apresentar o procedimento de solução.

Esse procedimento permite o cálculo do Mach e demais propriedades na saída sem a necessidade do processo iterativo apresentado para escoamento de Rayleigh. Outra vantagem é a possibilidade de utilizar tabelas em função da condição sônica.

Duração do vídeo: 13min31s

Tempo estimado de leitura: 5 minutos

Tabela de conteúdos

Condição sônica em escoamento de Rayleigh

O que você deve saber ao final dessa aula

O que é a condição sônica.
Qual a diferença entre a condição sônica e a condição crítica utilizada em escoamento com choque
Por que a condição sônica é útil para os cálculos em escoamento de Rayleigh
O procedimento de solução para escoamento de Rayleigh utilizando a condição sônica como referência.

Condição sônica em escoamento de Rayleigh

Para qualquer ponto do escoamento podemos associá-lo à condição sônica, que é a condição em que Mach é unitário.

Em escoamentos isoentrópico e com choque normal essa condição é chamada de condição característica, sendo diferente de um ponto ao outro do escoamento, pois está associada ao ponto em análise em sí.

Em escoamento com troca de calor a condição sônica é a condição que existirá se calor for adicionado ou removido em quantidade suficiente para acelerar ou desacelerar o escoamento à Mach unitário. O escoamento subsônico aquecido pode ser acelerado à condição sônica e um escoamento supersônico aquecido pode ser desacelerado para Mach unitário. Assim, a condição sônica é uma condição de referência constante no escoamento com adição de calor.

As propriedades na condição sônica serão representadas por $^*$ , mas é importante não confundir com as propriedades características de escoamentos isoentrópicos e com choque, cujas propriedades também são representadas por $^*$ . Embora ambas estejam relacionadas à Mach=1, elas são fundamentalmente diferentes: a propriedade característica é obtida isoentrópicamente, enquanto a propriedade sônica não.

Os cálculos ficam mais convenientes, pois pode-se obter equações para a condição sônica em função do número de Mach local.

Assim, seja $M_1=1$ , $P_1=P^*$ , $T_1=T^*$ , $\rho_1=\rho^*$ , $P_o^1=P_o^*$ , $T_o1=T_o^*$ e $M_2=M$ , todas as razões entre as propriedades características e as propriedades estáticas podem ser obtidas:

Para a temperatura:

$\begin{equation*}\begin{aligned}\frac{T_2}{T_1} &=\left(\frac{1+k.M_1^2}{1+k.M_2^2}\right)^2.\left(\frac{M_2}{M_1}\right)^2 \\\frac{T}{T^*} &=\left(\frac{1+k.1^2}{1+k.M^2}\right)^2.\left(\frac{M}{1}\right)^2 \\\end{aligned}\end{equation*}$

(1) $\begin{equation*}\boxed{\frac{T}{T^*} = M^2\left(\frac{1+k}{1+k.M^2}\right)^2}\end{equation*}$


Escoamento unidimensional com troca de calor. Razão entre a temperatura estática e sônica para o ar, com

Para a pressão:

$\begin{equation*}\begin{aligned}\frac{P_2}{P_1} &=\frac{1+k.M_1^2}{1+k.M_2^2} \\\frac{P}{P^*} &=\frac{1+k.1^2}{1+k.M^2}\end{aligned}\end{equation*}$

(2) $\begin{equation*}\boxed{\frac{P}{P^*} = \frac{1+k}{1+k.M^2}}\end{equation*}$

Escoamento unidimensional com troca de calor. Razão entre a Pressão estática e sônica para o ar, com $k=1,4$

Para a massa específica

$\begin{equation*}\begin{aligned}\frac{\rho_2}{\rho_1} &= \left(\frac{1+k.M_2^2}{1+k.M_1^2}\right).\left(\frac{M_1}{M_2}\right)^2 \\\frac{\rho}{\rho^*} &= \left(\frac{1+k.M^2}{1+k.1^2}\right).\left(\frac{1}{M}\right)^2\end{aligned}\end{equation*}$

(3) $\begin{equation*}\boxed{\frac{\rho}{\rho^*} = \left(\frac{1+k.M^2}{1+k}\right).\left(\frac{1}{M}\right)^2}\end{equation*}$

Escoamento unidimensional com troca de calor. Razão entre a massa específica estática e sônica para o ar, com $k=1,4$

Para a pressão de estagnação:

$\begin{equation*}\begin{aligned}\frac{P_{o2}}{P_{o1}} = \left(\frac{1+\frac{k-1}{2}.M_2^2}{1+\frac{k-1}{2}.M_1^2}\right)^{\frac{k}{k-1}}.\left(\frac{1+k.M_1^2}{1+k.M_2^2}\right) \\\frac{P_{o}}{P_{o}^*} = \left(\frac{1+\frac{k-1}{2}.M^2}{1+\frac{k-1}{2}.1^2}\right)^{\frac{k}{k-1}}.\left(\frac{1+k.1^2}{1+k.M^2}\right)\end{aligned}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}\boxed{\frac{P_{o}}{P_{o}^*} = \left(\frac{2+(k-1).M^2}{k+1}\right)^{\frac{k}{k-1}}.\left(\frac{1+k}{1+k.M^2}\right)}\end{equation*}$

Escoamento unidimensional com troca de calor. Razão entre a pressão de estagnação estática e sônica para o ar, com $k=1,4$

Para a temperatura de estagnação:

$\begin{equation*}\begin{aligned}\frac{T_{o2}}{T_{o1}} &= \left(\frac{1+\frac{k-1}{2}.M_2^2}{1+\frac{k-1}{2}.M_1^2}\right). \left(\frac{1+k.M_1^2}{1+k.M_2^2}\right)^2.\left(\frac{M_2}{M_1}\right)^2 \\\frac{T_{o}}{T_{o}^*} &= \left(\frac{1+\frac{k-1}{2}.M^2}{1+\frac{k-1}{2}.1^2}\right). \left(\frac{1+k.1^2}{1+k.M^2}\right)^2.\left(\frac{M}{1}\right)^2\end{aligned}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*}\boxed{\frac{T_o}{T_o^*} = \frac{(k+1)M^2}{(1+k.M^2)^2}.\left[2+(k-1)M^2\right] }\end{equation*}$

Escoamento unidimensional com troca de calor. Razão entre a temperatura de estagnação estática e sônica para o ar, com $k=1,4$

Utilizando a condição sônica como referência, é possível determinar quanto de calor é necessário para levar a saída para $M=1$ sabendo quanto de calor é necessário para levar a entrada para $M=1$ e quanto de calor efetivamente é trocado.

Volume de controle com adição de calor

As propriedades na saída 2 no sistema original podem ser determinadas calculando-se as propriedades sônicas à partir de 1.

A razão entre as propriedades do escoamento em função da condição sônica em função do número de Mach para o ar ( $k=1,4$ ) é apresentada na Tabela (??).

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