FT2.T. Relação pressão-massa específica e velocidade do som em gases

Escoamentos compressíveis Introdução ao escoamento unidimensional FT2.T. Relação pressão-massa específica e velocidade do som em gases

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Tabela de conteúdos

A velocidade do som
A velocidade do som para um gás perfeito
O número de Mach
O cone de Mach
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A velocidade do som

Considere o ar à sua volta. Ele é composto por moléculas se movendo aleatoriamente. Pode-se definir, num intervalo de tempo, a velocidade molecular média e a energia média que, para gases, são função apenas da temperatura.

Se ocorre uma explosão, a energia liberada será absorvida pelas moléculas de ar vizinhas, aumentando sua velocidade molecular média, o que irá aumentar a colisão entre moléculas, promovendo a transferência de parte da energia absorvida. Essa onde de energia viaja no espaço a uma velocidade que deve ser, de alguma forma, relacionada à velocidade molecular média. Através dessa onde, ocorre aumento de energia e mudanças nas propriedades, pressão, massa específica, temperatura, etc.

A passagem dessa onda, e a consequente variação na pressão, são percebidas pelo ser humano como som. Por definição, a onda de som é uma onda fraca. Se as mudanças através da onda são “fortes”, ocorre uma onda de choque, que se propaga mais rápido do que a velocidade do som.

A velocidade do som para um gás perfeito

A velocidade do som ( $c$ ) para um gás perfeito é uma das propriedades mais importantes no estudo de escoamentos compressíveis.

Consideremos que a onda de som se move à velocidade c no gás. Vamos nos fixar na frente de onda e nos movimentarmos com ela.

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Vamos visualizar a frente de onda parada, e o escoamento se movendo em direção à frente de onda, da esquerda para a direita, com velocidade $c$ , $\rho$ , $P$ , $T$ . O escoamento se afasta da frente de onda com propriedades $c+\partial c$ , $\rho + \partial \rho$ , $P+\partial P$ , $T+\partial T$ .

Considerando escoamento unidimensional. Da conservação de massa, temos:

$\begin{equation*}\begin{aligned}\rho_1.V_1 &= \rho_2.V_2 \\\rho.c &= (\rho_+ \partial \rho).(c+\partial c) \\\rho.c &= \rho.c + \rho.\partial c + \partial \rho.c + \partial \rho.dc\end{aligned}\end{equation*}$

O termo $\partial \rho.\partial c$ é o produto de duas quantidades infinitesimais (2ª ordem), e será desprezado. Assim:

$\begin{equation*}\rho.\partial c + c.\partial \rho = 0\end{equation*}$

(1) $\begin{equation*} \boxed{c = -\rho.\frac{\partial c}{\partial \rho}} \end{equation*}$

Da equação da quantidade de movimento:

$\begin{equation*}\begin{aligned}P_1 + \rho_1.V_1^2 &= P_2 + \rho_2.V_2^2 \\P + \rho.c^2 &= (P+\partial P) + (\rho+\partial \rho).(c+\partial c)^2 \\P + \rho.c^2 &= P+\partial P + (\rho+\partial \rho) + (c^2 + 2.c.\partial c + \partial c^2) \\P + \rho.c^2 &= P+\partial P + \rho.c^2 + 2.c.\partial c.\rho + \rho.\partial c^2 + \partial\rho.c^2 + 2.c.\partial\rho.\partial c + d\rho.\partial c^2 \end{aligned}\end{equation*}$

Desprezando os termos de 2ª ordem: $(\partial c)^2$ e $(\partial c.\partial \rho)$ :

$\begin{equation*}\begin{aligned}\partial P + 2.c.\rho.\partial c + c^2.\partial\rho &= 0 \\ \nonumber\partial c &= \frac{\partial P + c^2.\partial\rho}{-2.c.\rho} \\ \nonumber\end{aligned}\end{equation*}$

(2) $\begin{equation*}\boxed{\frac{\partial c}{\partial \rho} = \frac{\frac{\partial P}{\partial\rho}+c^2}{-2.c.\rho}}\end{equation*}$

Substituindo esse resultado na Eq.(1):

$\begin{equation*}\begin{aligned}c &= -\rho.\frac{\partial c}{\partial\rho} \\c &= -\rho.\left[\frac{\frac{\partial P}{\partial \rho}+c^2}{-2.c.\rho}\right] \\-\frac{c}{\rho} &= \frac{\frac{\partial P}{\partial \rho}+c^2}{-2.c.\rho} \\\frac{\partial P}{\partial\rho} + c^2 &= \frac{2.c.\rho.c}{\rho} \\\frac{\partial P}{d\rho} + c^2 &= 2.c^2 \\\end{aligned}\end{equation*}$

(3) $\begin{equation*}\boxed{c^2 = \frac{\partial P}{\partial\rho}}\end{equation*}$

As mudanças na onda sonora são pequenas, o que implica gradientes no escoamento pequenos. Assim, efeitos dissipativos podem ser desprezados (atrito e condutividade térmica). Para um processo isoentrópico:

(4) $\begin{equation*}\boxed{c^2 = \left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_s}\end{equation*}$

A Eq.(4) é a equação fundamental para a velocidade do som, e demonstra que é uma medição direta da compressibilidade do gás $\frac{dP}{d\rho}$ . Aplicando as equações isoentrópicas para gases ideais:

$\begin{equation*}\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{k-1}{k}} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^{1-k} = \left(\frac{\rho_2}{\rho_1}\right)^{k-1}\end{equation*}$

Relacionando a pressão com a massa específica, temos:

$\begin{equation*}\begin{aligned}\frac{P_2}{P_1} &= \left(\frac{\rho_2}{\rho_1}\right)^{(k-1).\frac{k}{k-1}} \\\frac{P_2}{P_1} &= \left(\frac{\rho_2}{\rho_1}\right)^k \\\left(\frac{P}{\rho^k}\right) &= constante \\P &= constante.\rho^k\end{aligned}\end{equation*}$

Logo:

$\begin{equation*}\begin{aligned}\left(\frac{dP}{d\rho}\right)_s &= \frac{d}{d\rho}\left(constante.\rho^k\right) \\\left(\frac{dP}{d\rho}\right)_s &= k.constante.\rho^{k-1}\end{aligned}\end{equation*}$

Mas $constante = \frac{P}{\rho^k}$ , logo:

$\begin{equation*}\begin{aligned}\left(\frac{dP}{d\rho}\right)_s &= k.\left(\frac{P}{\rho^k}\right).\rho^{k-1} \\\left(\frac{dP}{d\rho}\right)_s &= \frac{k.P}{\rho}\end{aligned}\end{equation*}$

Assim:

$\begin{equation*}\begin{aligned}c^2 &= \left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_s \\c^2 &= \frac{k.P}{\rho}\end{aligned}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*}\boxed{ c = \sqrt{\frac{k.P}{\rho}} }\end{equation*}$

Da equação dos gases ideais: $P=\rho.R.T \rightarrow \frac{P}{\rho} = R.T$

(6) $\begin{equation*}\boxed{c = \sqrt{k.R.T}}}\end{equation*}$

Exemplo 1

O som viaja mais rápido no inverno ou no verão? Por que?

Da Eq.(6}) temos que a velocidade do som é diretamente proporcional à temperatura. Dessa forma, no verão, com temperaturas médias maiores, a velocidade do som também será maior.

Como exemplo vamos calcular a variação na velocidade do som no ar se a temperatura aumentar de $20[^oC]$ para $25[^oC]$ :

$\begin{equation*}c_1 = \sqrt{1,4.287.(20+273,15)} = 343,2[m/s]\end{equation*}$

$\begin{equation*}c_2 = \sqrt{1,4.287.(25+273,15)} = 346,12 [m/s]\end{equation*}$

Assim, uma variação de $5[^oC]$ implica numa variação na velocidade do som de $2,9[m/s]$ .

Exemplo 2

Determine a velocidade sônica do ar na atmosfera nas altitudes de 10[km], 50[km] e 80[km]}

A atmosfera é dividida entre a Troposfera, em que a temperatura diminui com o aumento da altitude, até aproximadamente 10[km], Estratosfera ( $10[km] \approx h \approx 50[km]$ ), em que a temperatura aumenta com a altitude, Mesosfera ( $50[km] \approx h \approx 80[km]$ ), em que a temperatura diminui com a altitude e Termosfera ( $80[km] \approx h \approx 100[km]$ ), em que a temperatura aumenta com a altitude.

Assim:

h[km]	T[ºC]	T[K]	c[m/s]
10	-55	218,15	296,06
50	-5	268,15	328,14
80	-90	183,15	271,27

No cálculo da velocidade do som a temperatura deve ser sempre comvertida para a escala absoluta de Kelvin.

O número de Mach

O número de Mach é definido como a razão entre a velocidade pela velocidade do som no meio: $M=\frac{V}{c}$ . Se dividirmos a parcela da energia cinética pela parcela da energia interna $u=c_v.T$ , temos:

(7) $\begin{align*}\frac{\frac{V^2}{2}}{u} = \frac{\frac{V^2}{2}}{c_v.T}\end{align*}$

Mas: $R=c_P-c_v \rightarrow \frac{R}{c_v} = \frac{c_P}{c_v} - \frac{c_v}{c_v} \rightarrow \frac{R}{c_v} = k-1 \rightarrow c_v = \frac{R}{k-1}$

(8) $\begin{align*}\frac{\frac{V^2}{2}}{c_v.T} = \frac{\frac{V^2}{2}}{\frac{R}{k-1}.T}\end{align*}$

(9) $\begin{equation*}c = \sqrt{k.R.T} \rightarrow c^2 = k.R.T \rightarrow R.T = \frac{c^2}{k}\end{equation*}$

logo:

(10) $\begin{equation*}\frac{\frac{V^2}{2}}{\frac{R}{k-1}.T} = \frac{\frac{V^2}{2}}{\frac{c^2}{k(k-1)}} = \frac{V^2}{2.c^2}.k.(k-1) = \frac{k.(k-1)}{2}.M^2\end{equation*}$

Portanto:

(11) $\begin{equation*} \boxed{\frac{\frac{V^2}{2}}{u} = \frac{k.(k-1)}{2}.M^2}\end{equation*}$

A Eq.(11) demonstra que Mach ao quadrado é proporcional à razão entre as energia cinética e interna, ou seja, é uma medida no movimento do gás comparado com o movimento aleatório térmico das moléculas do gás.

(12) $\begin{equation*}\boxed{M^2 \propto \frac{ k_e}{u}}\end{equation*}$

\exemplo{Determine o número de Mach para um veículo se movimentando, no Ar e no Hélio, às velocidades de $50[Km/h]$ , $150[Km/h]$ e $1500[km/h]$ . Considere temperatura ambiente de $10[^oC]$ .}
{Para o ar, $k=1,4$ e $R=287[J/kg.K]$ , enquanto para o Hélio $k=1,667$ e $R=2077,1[J/kg.K]$ . Assim:

	Ar	Hélio
c	$\sqrt{1,4.287.(20+273,15)} = 343,2[m/s]$	$\sqrt{1,667.2077.(20+273,15)} = 1007,47[m/s]$
V[km/h]	M	M
50	0,04	0,014
150	0,12	0,041
1500	1,21	0,41

As velocidades devem ser convertidas para [m/s] e as temperaturas no cálculo da velocidade do som para Kelvin. Para a mesma velocidade de deslocamento, o número de Mach depende das propriedades do gás

O cone de Mach

Considere um objeto fixo emitindo ondas sonoras em intervalos regulares. Para um intervalo de tempo $dt$ , a onda irá percorrer uma distância $s=c.dt$ . Para o segundo intervalo de tempo, essa mesma onda irá percorrer a distância $s=c.(2.dt)$ , e assim sucessivamente.

Figura. Ondas sonoras emitidas em intervalos regulares se distanciam da fonte de emissão estacionária

Se a fonte sonora se move, existem três casos possíveis:

Caso 1: M<1

Se o objeto que emite a onda sonora se move à velocidade menor do que a do som ( $M<1$ ), ele irá se aproximar da frente de onda na direção de seu deslocamento e se afastar da frente de onda na direção contrária ao seu movimento. Dessa forma haverá uma maior frequência de ondas no sentido de seu movimento, resultando no efeito Doppler. Ouvimos uma maior frequência quando o objeto se aproxima e uma menor quando ele se afasta de nós.

Figura. Objeto se move com velocidade menor do que a frente de onda

Objeto se move para a direita com $M<1$ . A onda sonora maior foi emitida quando o objeto estava na posição $P_1$ , no instante de tempo $t_0$ . Após $N$ intervalos de tempo $dt$ ela percorre uma distância $N.dt$ . Após o primeiro intervalo de tempo uma segunda onda sonora é emitida, mas o objeto se moveu para a direita (posição $P_2$ ), resultando em maior frequência das ondas sonoras no sentido de seu movimento

Caso 2: M=1

Se o objeto se move com a mesma velocidade que a onda sonora ( $M=1$ ), ele estará posicionado na frente de onda.

Figura. Objeto se move com velocidade igual à frente de onda

A fonte sonora P se move para a direita com $M=1$ . A onda sonora maior foi emitida no instante de tempo $t_0$ . Após o primeiro intervalo de tempo a segunda onda sonora é emitida, mas o objeto se moveu para a direita com a mesma velocidade que a onda sonora.

Caso 3: M>1

Se a fonte sonora se move mais rápido do que a velocidade do som, ele estará posicionado à frente das ondas que ele emite. As ondas sonoras estarão contidas em um cone atrás do objeto, o cone de Mach.

Só se pode ouvir a fonte sonora dentro do cone de Mach, que é o local em que todas as ondas sonoras estão presentes. Essa região também é conhecida como zona de ação. Fora do cone, há uma zona de silência (não é possível ouvir a fonte sonora).

Figura. Objeto se move com velocidade maior do que a frente de onda

A fonte sonora P se move para a direita com $M>1$ . O objeto fica à frente das ondas sonoras, formando uma região conhecida como cone de Mach, zona em que é possível ouvir a fonte sonora. Fora do cone existe uma zona de silêncio.

O ângulo de Mach define a geometria do cone de Mach. Após um intervalo de tempo $\Delta t$ a fonte sonora se moveu uma distância $v.\Delta t$ enquanto a onda sonora se moveu pela distância $c. \Delta t$ . Assim:

Figura. O cone de Mach

O ângulo $\alpha$ define o cone de Mach

$\begin{equation*}\begin{aligned}sin \alpha &= \frac{c.\Delta t}{V.\Delta t} \\sin \alpha &= \frac{c}{V} = \frac{1}{M} \\\end{aligned}\end{equation*}$